Matematica discreta Esempi

$2 e^{2 x} - 5 e^{x} + 4 = 0$

Passaggio 1

Riscrivi $e^{2 x}$ come un elevamento a potenza.

$2 {(e^{x})}^{2} - 5 e^{x} + 4 = 0$

Passaggio 2

Sostituisci $e^{x}$ per $u$ .

$2 u^{2} - 5 u + 4 = 0$

Passaggio 3

Risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.2

Sostituisci i valori $a = 2$ , $b = - 5$ e $c = 4$ nella formula quadratica e risolvi per $u$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 4)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.1.1

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 2 \cdot 4$ .

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Passaggio 3.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $4$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 32}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.1.3

Sottrai $32$ da $25$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.1.4

Riscrivi $- 7$ come $- 1 (7)$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (7)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{4}$

Passaggio 3.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$u = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}, \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$

Passaggio 4

Sostituisci $\frac{5 + i \sqrt{7}}{4}$ per $u$ in $u = e^{x}$ .

$\frac{5 + i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$

Passaggio 5

Risolvi $\frac{5 + i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $e^{x} = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}$ .

$e^{x} = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}$

Passaggio 5.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

Passaggio 5.3

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.1

Espandi $\ln (e^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

Passaggio 5.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

Passaggio 5.4

Espandi il lato destro.

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Passaggio 5.4.1

Riscrivi $\ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$ come $\ln (5 + i \sqrt{7}) - \ln (4)$ .

$x = \ln (5 + i \sqrt{7}) - \ln (4)$

Passaggio 5.4.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{7}$ come $7^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

Passaggio 5.4.3

Riscrivi $\ln (4)$ come $\ln (2^{2})$ .

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

Passaggio 5.4.4

Espandi $\ln (2^{2})$ spostando $2$ fuori dal logaritmo.

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - (2 \ln (2))$

Passaggio 5.4.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - 2 \ln (2)$

Passaggio 5.5

Semplifica.

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Passaggio 5.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.5.1.1

Semplifica $- 2 \ln (2)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

Passaggio 5.5.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

Passaggio 5.5.2

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x = \ln (\frac{5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$

Passaggio 6

Sostituisci $\frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$ per $u$ in $u = e^{x}$ .

$\frac{5 - i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$

Passaggio 7

Risolvi $\frac{5 - i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$ .

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Passaggio 7.1

Riscrivi l'equazione come $e^{x} = \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$ .

$e^{x} = \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$

Passaggio 7.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

Passaggio 7.3

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Espandi $\ln (e^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

Passaggio 7.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

Passaggio 7.3.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

Passaggio 7.4

Espandi il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Riscrivi $\ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$ come $\ln (5 - i \sqrt{7}) - \ln (4)$ .

$x = \ln (5 - i \sqrt{7}) - \ln (4)$

Passaggio 7.4.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{7}$ come $7^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

Passaggio 7.4.3

Riscrivi $\ln (4)$ come $\ln (2^{2})$ .

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

Passaggio 7.4.4

Espandi $\ln (2^{2})$ spostando $2$ fuori dal logaritmo.

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - (2 \ln (2))$

Passaggio 7.4.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - 2 \ln (2)$

Passaggio 7.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1.1

Semplifica $- 2 \ln (2)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

Passaggio 7.5.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

Passaggio 7.5.2

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x = \ln (\frac{5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$

Passaggio 8

Elenca le soluzioni che rendono vera l'equazione.

$x = \ln (\frac{5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4}), \ln (\frac{5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$